Kalkulus - Integgral Tak Wajar (Dengan Batas Pengintegralan Tak Hingga Dan Integral Tak Hingga)

TUGAS

KALKULUS 1

INTEGRAL TAK WAJAR ( DENGAN BATAS PENGITEGRALAN TAK HINGGA & INTEGRAN TAK HINGGA )

Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kalkulus 1

Dosen Pengampu : Mahar Musdairin, S.Pd

Disusun oleh ,

Kelompok 11 : 

KHUSILA ZULHADI

 

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SAMAWA (UNSA)

SUMBAWA BESAR

2013

KATA PENGANTAR

Bismillahirrahmanirrahim, puja dan puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta hidayahnya, salawat serta salam kepada junjungan kami dan alam beserta isinya, Nabi Besar Muhammad SAW dan keluarga beserta sahabat-sahabat yang telah berjuang membawa kemuliaan kedunia yang terang dan penuh dengan kemudahan seperti sekarang ini, sehingga kami dapat menyelsaikan kewajiban kami sebagai mahasiswa/i yaitu tugas MK Kalkulus dalam bentuk makalah dengan judul “integral tak tentu (dengan batas pengintegralan tak hingga & integran tak hingga”.

Tujuan dari pembuatan makalah ini adalah selain untuk memenuhi tugas MK kalkulus juga yaitu sebagai syarat penilaian tugas dan sekaligus menilai kemampuan mahasiswa/i dalam menguasai kompetensi-kompetensi yang harus dicapai selama mengikuti MK ini.

Isi dari pada makalah ini adalah disusun dari berbagai referensi yang relevan seperti buku dan internet.

Ucapan terima kasih tak lupa kami sampaikan kepada dosen pembimbing yang telah membimbing kita selama mengikuti MK Kalkulus 1, membantu kami memecahan kesulitan-kesulitan ketika belajar. Dan ucapan terima kasih kepada teman-teman fisika A 3 yang telah membantu memberikan referensi yang sesuai.

Kami menyadari dalam pembuatan makalah ini  terdapat kelebihan-kelebihan dan juga kekurangan – kekurangan baik dari segi sistematika penulisan maupun isi dari pada makalah ini. Oleh karena itu, kami sangat mengharapkan kritik dan saran dari dosen dan juga teman-teman demi perbaikan makalah – makalah yang selanjutnya. Semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Sekian dari kami penyusun, kami ucapkan terima kasih.

Sumbawa Besar, 13 January 2013

Penyusun 

BAB I 

BAB II

A.    Latar Belakang

Integral tentu dapat digunakan untuk menghitung luas tidaklah mengherankan, integral tentu diciptakan untuk keperluan itu. Akan tetapi penggunaan integral berlanjut jauh diluar penerapan itu. Hampir setiap besaran yang dianggap sebagai hasil pemegahan sesuatu menjadi potongan-potongan yang lebih kecil, penghampiran tiap bagian , penjumlahan dan pengambilan limit apabila tiap potongan mngecil, dapat ditafsirkan sebagai suatu integral tentu. Khususnya, hal ini benar untuk volume benda-benda yang dapat dipotong menjadi irisan-irisan tipis, dengan volume tiap irisan mudah dihampiri. Apabila sebuah bidang datar , terletak seluruhnya pada satu sisi dari sebuah garis tetap dalam bidangnya, diputar mengelilingi garis tersebut, daerah itu akan membentuk sebuah benda putar. Garis tetap tersebut dinamakan sumbu benda putar.

B.     Rumusan Masalah

Adapun rumusan masalah dalam pembuatan makalah ini adalah :

1.       Mencari volume suatu benda putar dengan metode cakram

C.    Tujuan

Adapun tujuan dari pembuatan makalah ini adalah :

1.      Agar mahasiswa/i mengetahui cara menghitung volume benda putar dengan metode cakram

D.    Manfaat

Adapun mamfaat dari pembuatan makalah ini adalah :

1.      Secara teoritis untuk mengembangkan pengetahuan mahasiswa tentang volume benda putar dengan metode cakram.

2.      Untuk menambah wawasan mahasiswa dalam MK Kalkulus 2.

BAB II

PEMBAHASAN

A.     Volume benda putar

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasil kali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasil kali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu dapat menggunakan metode cakram.

B.     Metode cakram

Misal daerah dibatasi oleh y = f(x), y = 0, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

Misal pusat cakram ( xo,0 ) dan jari-jari r = f(xo). Maka luas cakram dinyatakan : A( xo ) =  f ² (x_o). Oleh karena itu, volume benda putar :

Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x = w(y), x = 0, y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :

Bila daerah yang dibatasi oleh y = f(x) 0 , y = g(x) 0 { f(x) g(x) untuk setiap x  [a,b] }, x = a dan x = b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume :

Bila daerah yang dibatasi oleh x = w(y) ³ 0 , x = v(y) ³ 0 { w(y) ³ v(y) untuk setiap y Î [ c,d ] }, y = c dan y = d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :

Contoh 1

Hitunglah volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh y = x² , y² = 8x diputar mengelilingi sumbu x dan y adalah

Jawab

Kedua kurva berpotongan di  (0,2) dan (0,4)

a.       Pada selang [0,2] , ,

Volume benda putar :

                                      =

b.      Pada selang [0,4] ,

Volume benda putar :

                                       =

Contoh 2

Hitung volume benda putar bila daerah yang dibatasi oleh y =2-x² , , y = -x dan sumbu y bila di putar mengelilingi garis y = -2

Jawab

Kedua kurva berpotongan di ( -1,1 ) dan ( 2,-2 ). Pada selang [ -1,0 ] berlaku 2 - x2 ³ -x. Jarak kurva y = 2 - x2 dan y = -x terhadap sumbu putar ( garis y = -2 ) dapat dipandang sebagai jari-jari dari cakram, berturut-turut adalah ( 4 - x2 ) dan ( 2 - x ). Oleh karena itu, volume benda putar :

                                             =

Contoh 3

Hitung volume benda putaran, bila bidang yang dibatasi oleh parabola y² = 8x , sumbu x dan x = 2 diputar mengelilingi sumbu x satu kali

Jawab

Contoh 4

Hitung volume benda putaran, bila bidang yang di batasi oleh parabola y² = 8x dan x = 2 di putar mengelilingi garis x = 2 satu kali

Jawab

Perpotongan antara y² = 8x dan x = 2 diperoleh y² = 16

y₁ =-4 , y₂ =4

                                      = 256  /15

 BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Benda putar yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung dengan besar volume adalah hasil kali luas alas ( luas lingkaran ) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari hasil kali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas kita nyatakan dengan A(x) dan tinggi benda putar adalah panjang selang [ a,b ] maka volume benda putar dapat dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut :

Dari v = A . h

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu dapat menggunakan metode cakram

B.     Saran

Adapun saran yang dapat disampaikan dalam makalah ini adalah agar mahasiswa lebih giat dalam belajar dan jeli dalam mengembangkan materi volume benda putar dengan metode cakram untuk menambah wawasan mereka sendiri.

DAFTAR PUSTAKA

·         Purcell dan Varberg .2010. KALKULUS JILID SATU. Bandung : BINARUPA AKSARA Publisher

·         Penggunaan_integral_tentu__pertemuan_4.pdf.Adope Reader

·         17volumebendaputar.pdf.Adope Reader